Teori Bilangan 1

Ringkasan Peta Konsep

1. Mencari Pecahan di Antara Dua Pecahan

Konsep dasar: Pecahan Senilai

Nilai suatu pecahan tidak berubah jika pembilang dan penyebutnya dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama:

$$ \frac{a}{b}=\frac{a\times n}{b\times n},\qquad n\ne 0. $$

Strategi

1. Samakan penyebut kedua pecahan, misalnya menggunakan KPK dari $b$ dan $d$.
2. Jika pembilang masih berselisih 1, perbesar kedua pecahan dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan bilangan yang sama.
3. Ulangi sampai diperoleh pecahan sebanyak yang diminta.

Contoh

Carilah satu pecahan di antara $\frac12$ dan $\frac23$.

$$ \frac12=\frac36,\qquad \frac23=\frac46. $$

Karena pembilang berselisih 1, kalikan keduanya dengan $\frac22$:

$$ \frac36=\frac6{12},\qquad \frac46=\frac8{12}. $$

Maka salah satu pecahan di antaranya adalah $\boxed{\frac7{12}}$.

Terapkan pada soal

Gunakan langkah di atas untuk menemukan tepat 3 pecahan di antara $\frac{11}{15}$ dan $\frac{13}{18}$. Jika perlu, kalikan kedua pecahan dengan $\frac22$ terlebih dahulu.

2. Berpikir Mundur (Diagram Alur Terbalik)

Konsep dasar: Operasi Invers

Jika hasil akhir suatu rangkaian operasi diketahui, balik urutan operasi dan ganti setiap operasi dengan lawannya.

Contoh

Suatu bilangan dikali 3, lalu dikurangi 4, hasilnya 11. Bilangan awalnya:

$$ 11\xrightarrow{+4}15\xrightarrow{\div 3}5. $$

Jadi $x=5$. Pengecekan: $5\times3-4=11$.

Terapkan pada soal

Bilangan awal mengalami empat proses berurutan: bagi 13, kali 12, kurang 44, lalu tambah 89. Hasil akhirnya 83. Susun diagram kebalikannya dan telusuri langkah demi langkah.

3. Menyatakan Bilangan dalam Bentuk $5a+11b$

Konsep dasar: Kombinasi Linear

Bentuk $5a+11b$, dengan $a,b$ bilangan bulat, disebut kombinasi linear dari 5 dan 11. Karena

$$ \operatorname{FPB}(5,11)=1, $$

secara teori setiap bilangan bulat dapat dinyatakan dalam bentuk tersebut untuk pasangan bilangan bulat tertentu.

Strategi pengecekan

Untuk bilangan $N$, coba nilai $b=0,1,2,\ldots$, kemudian periksa apakah

$$ a=\frac{N-11b}{5} $$

memenuhi batasan yang diberikan.

Contoh

Apakah 20 dapat dinyatakan sebagai $5a+11b$ dengan $a,b$ bilangan cacah?

$$ 20=5(4)+11(0). $$

Jadi jawabannya ya, dengan $a=4$ dan $b=0$.

Terapkan pada soal

Diketahui $43=5(11)+11(-2)$. Periksa bilangan 28, 37, 254, 320, dan 1986 satu per satu. Cari pasangan $a,b$ dengan memperhatikan batasan nilai yang berlaku.

4. Syarat Keterbagian dan Nilai Ekstrem

Konsep dasar

Untuk mencari bilangan terbesar atau terkecil yang memenuhi syarat:

1. Mulai dari bilangan ekstrem yang mungkin.
2. Susun barisan turun atau naik.
3. Periksa syarat pada setiap bilangan.
4. Bilangan pertama yang memenuhi syarat adalah jawabannya.

Catatan: syarat “jumlah digit habis dibagi 8” bukan aturan keterbagian baku untuk bilangan tersebut. Jumlah digit harus diperiksa sesuai syarat soal.

Contoh

Bilangan dua angka terbesar yang jumlah digitnya habis dibagi 4 adalah 97, karena $9+7=16$, sedangkan 98 memiliki jumlah digit 17.

Terapkan pada soal

Mulai dari 9999 dan turun satu-satu. Hitung jumlah digit sampai ditemukan jumlah yang habis dibagi 8. Setelah nilai jumlah digit maksimum ditemukan, yaitu 32, tentukan nomor polisi terbesar yang mungkin.

5. Bilangan sebagai Jumlah Bilangan Asli Berurutan

Konsep dasar: Faktorisasi Ganjil

Bilangan asli $N$ dapat dinyatakan sebagai jumlah dua atau lebih bilangan asli berurutan jika dan hanya jika $N$ memiliki faktor ganjil selain 1. Dengan kata lain, bilangan yang merupakan pangkat dua murni tidak dapat diuraikan dengan cara ini.

Jika $N=k\times m$, dengan $m$ faktor ganjil, maka:

$$ N=\left(k-\frac{m-1}{2}\right)+\cdots+(k-1)+k+(k+1)+\cdots+\left(k+\frac{m-1}{2}\right). $$

Contoh

$$ 10=0+1+2+3+4=1+2+3+4, $$

dan

$$ 18=5+6+7. $$

Bilangan yang tidak dapat diuraikan pada rentang ini berbentuk $2^n$:

$$ 1,2,4,8,16,32,64,128,256,512. $$

Terapkan pada soal

1. Uraikan 18 menggunakan semua kemungkinan faktor ganjilnya, yaitu 3 dan 9.
2. Uraikan $210=2\times3\times5\times7$ dengan semua faktor ganjilnya: 3, 5, 7, 15, 21, 35, dan 105.
3. Tentukan semua bilangan dari 1 sampai 1000 yang tidak dapat diuraikan sebagai jumlah bilangan asli berurutan.

6. Banyaknya Kelipatan dalam Suatu Interval

Konsep dasar: Barisan Aritmetika

Kelipatan $p$ dalam suatu interval membentuk barisan aritmetika dengan beda $p$. Jika $U_1$ adalah kelipatan pertama dan $U_n$ adalah kelipatan terakhir, maka:

$$ U_n=U_1+(n-1)p $$

sehingga

$$ n=\frac{U_n-U_1}{p}+1. $$

Contoh

Banyak kelipatan 4 antara 10 dan 50:

$$ U_1=12,\qquad U_n=48, $$

$$ n=\frac{48-12}{4}+1=9+1=10. $$

Jadi ada 10 kelipatan.

Terapkan pada soal

Untuk kelipatan 13 antara 200 dan 2005 diketahui $U_1=208$ dan $U_n=2002$. Gunakan rumus dengan beda $p=13$ untuk menghitung banyaknya suku $n$.

7. Sisa Pembagian dan Sistem Kekongruenan

Konsep dasar: Representasi Bilangan dengan Sisa

Jika bilangan $N$ dibagi $p$ bersisa $r$, maka:

$$ N=pk+r,\qquad 0\le r<p. $$

Bentuk ini setara dengan notasi kekongruenan:

$$ N\equiv r\pmod p. $$

Strategi

1. Tuliskan setiap syarat sisa dalam bentuk umum.
2. Cari hubungan antar-sisa.
3. Gunakan KPK dari pembagi untuk menemukan pola umum.
4. Tentukan nilai terkecil yang memenuhi seluruh syarat.

Contoh

Jika $N$ bersisa 1 ketika dibagi 3 dan bersisa 3 ketika dibagi 5:

$$ N=3k+1\quad\text{dan}\quad N=5j+3. $$

Daftar nilai yang memenuhi masing-masing syarat bertemu pertama kali pada $N=13$.

Terapkan pada soal

Diketahui:

$$ N=5a+1,\qquad N=6b+2,\qquad N=8c+4. $$

Karena $5-1=6-2=8-4=4$, maka $N+4$ habis dibagi 5, 6, dan 8 sekaligus. Gunakan

$$ \operatorname{KPK}(5,6,8) $$

untuk menentukan nilai terkecil $N$ yang memenuhi.

Tantangan Ringkas

Gunakan strategi yang tepat untuk setiap masalah: menyamakan penyebut, membalik operasi, mencoba pasangan koefisien, menelusuri nilai ekstrem, memanfaatkan faktor ganjil, menggunakan barisan aritmetika, atau menerapkan kekongruenan.