E. Transformasi Tunggal pada Titik
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari subbab ini, murid diharapkan mampu:
- Mengidentifikasi jenis transformasi dari pasangan titik asal dan bayangannya
- Menentukan bayangan titik akibat transformasi tunggal (refleksi, translasi, rotasi, dilatasi) pada bidang koordinat Kartesius
A. Rangkuman Rumus Bayangan Titik
| No | Transformasi | Rumus $(x, y) \to$ |
|---|---|---|
| 1 | Refleksi terhadap sumbu $x$ | $(x, -y)$ |
| 2 | Refleksi terhadap sumbu $y$ | $(-x, y)$ |
| 3 | Refleksi terhadap garis $y = x$ | $(y, x)$ |
| 4 | Refleksi terhadap garis $y = -x$ | $(-y, -x)$ |
| 5 | Translasi $T\binom{a}{b}$ | $(x+a, y+b)$ |
| 6 | Rotasi $90^\circ$ (berlawanan jarum jam) | $(-y, x)$ |
| 7 | Rotasi $180^\circ$ | $(-x, -y)$ |
| 8 | Rotasi $270^\circ$ (berlawanan jarum jam) | $(y, -x)$ |
| 9 | Dilatasi $D_{O,k}$ | $(kx, ky)$ |
B. Contoh Soal Gabungan
Contoh 1
Tentukan bayangan titik $A(4, -3)$ akibat:
a. refleksi terhadap sumbu $y$
b. translasi $T\binom{-2}{5}$
c. rotasi $90^\circ$ berlawanan arah jarum jam dengan pusat $O$
d. dilatasi dengan pusat $O$ dan $k = 2$
Jawab:
a. $A(4,-3) \xrightarrow{\text{sumbu } y} (-4, -3)$
b. $A(4,-3) \xrightarrow{T\binom{-2}{5}} (4-2, -3+5) = (2, 2)$
c. $A(4,-3) \xrightarrow{R_{90^\circ}} (3, 4)$
d. $A(4,-3) \xrightarrow{D_{O,2}} (8, -6)$
Contoh 2: Menebak Jenis Transformasi
Titik $P(2, 5)$ menjadi $P’(5, 2)$. Transformasi apakah yang terjadi?
Jawab: Posisi $x$ dan $y$ bertukar tanpa berubah tanda, sehingga transformasinya adalah refleksi terhadap garis $y = x$.
Contoh 3: Menentukan Vektor Translasi
Titik $Q(1, -2)$ ditranslasikan menjadi $Q’(4, 1)$. Tentukan vektor translasinya!
Jawab: $a = 4 - 1 = 3$, $b = 1 - (-2) = 3$, jadi $T\binom{3}{3}$.
- Refleksi: ada tanda yang berubah (atau posisi bertukar) — ukuran tetap
- Translasi: kedua koordinat bertambah/berkurang dengan bilangan tetap — ukuran tetap
- Rotasi: koordinat "berputar" — ukuran tetap
- Dilatasi: kedua koordinat dikali bilangan yang sama — ukuran berubah
C. Latihan Soal
- Tentukan bayangan titik $A(5, -2)$ jika dicerminkan terhadap sumbu $x$!
- Tentukan bayangan titik $B(-3, 4)$ jika ditranslasikan oleh $T\binom{6}{-1}$!
- Tentukan bayangan titik $C(2, 7)$ jika dirotasikan $180^\circ$ dengan pusat $O$!
- Tentukan bayangan titik $D(-6, 8)$ jika didilatasi dengan pusat $O$ dan $k = \tfrac{1}{2}$!
- Titik $E(3, -1)$ menjadi $E’(1, 3)$. Transformasi apakah yang terjadi?
- Titik $F$ dicerminkan terhadap sumbu $y$ menghasilkan $F’(5, -2)$. Tentukan koordinat $F$!
D. Kunci Jawaban
- $A’(5, 2)$
- $B’(3, 3)$
- $C’(-2, -7)$
- $D’(-3, 4)$
- Refleksi terhadap garis $y = x$ (posisi bertukar: $(3,-1) \to (-1,3)$)
- $F = (-5, -2)$ (karena $(-x, y) \to (5, -2)$ berarti $x = -5$, $y = -2$)