F. Transformasi Tunggal pada Garis

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari subbab ini, murid diharapkan mampu:

Menentukan persamaan bayangan garis lurus akibat transformasi tunggal
Menggunakan dua titik pada garis untuk menemukan bayangannya

A. Strategi Umum

Untuk menentukan persamaan bayangan sebuah garis:

Ambil dua titik yang terletak pada garis (misal titik potong dengan sumbu atau dua titik mudah)
Transformasikan kedua titik tersebut
Tentukan persamaan garis yang melalui kedua bayangan

Refleksi garis y=2x+1 terhadap sumbu x menjadi y=-2x-1

B. Translasi pada Garis

Contoh 1

Garis $y = 2x + 3$ ditranslasikan oleh $T\binom{4}{-1}$. Tentukan persamaan bayangannya!

Jawab (cara cepat): Translasi $\binom{a}{b}$ menggeser garis sehingga $y’ - b = m(x’ - a) + c$.

$$y’ - (-1) = 2(x’ - 4) + 3 \Rightarrow y’ = 2x’ - 8 + 3 - 1 = 2x’ - 4$$

Jadi bayangannya $y’ = 2x - 4$.

C. Refleksi pada Garis

Contoh 2

Garis $y = 3x - 1$ dicerminkan terhadap sumbu $x$. Tentukan persamaan bayangannya!

Jawab: Ambil titik $(0,-1)$ dan $(1,2)$ pada garis. Bayangan terhadap sumbu $x$: $(0,1)$ dan $(1,-2)$.

Gradien bayangan: $m = \frac{-2 - 1}{1 - 0} = -3$. Persamaan: $y = -3x + 1$.

D. Rotasi pada Garis

Contoh 3

Garis $y = 2x$ dirotasikan $90^\circ$ berlawanan arah jarum jam dengan pusat $O$. Tentukan persamaan bayangannya!

Jawab: Ambil titik $(0,0)$ dan $(1,2)$ pada garis. Bayangan rotasi $90^\circ$: $(0,0) \to (0,0)$ dan $(1,2) \to (-2,1)$.

Gradien bayangan: $m = \frac{1 - 0}{-2 - 0} = -\tfrac{1}{2}$. Persamaan: $y = -\tfrac{1}{2}x$.

Perhatikan: gradien garis berubah dari $2$ menjadi $-\tfrac{1}{2}$ (saling tegak lurus), karena rotasi $90^\circ$ memutar garis sebesar sudut siku-siku.

E. Dilatasi pada Garis

Contoh 4

Garis $y = 2x + 1$ didilatasi dengan pusat $O$ dan $k = 3$. Tentukan persamaan bayangannya!

Jawab: Ambil titik $(0,1)$ dan $(1,3)$. Bayangan: $(0,3)$ dan $(3,9)$.

Gradien: $m = \frac{9 - 3}{3 - 0} = 2$ (tetap!). Persamaan melalui $(0,3)$: $y = 2x + 3$.

Dilatasi dengan pusat $O$ tidak mengubah gradien garis; hanya menggeser titik potongnya.

F. Rangkuman

Transformasi	Pengaruh pada garis $y = mx + c$
Translasi $T\binom{a}{b}$	gradien tetap, konstanta berubah
Refleksi sumbu $x$	gradien menjadi $-m$
Refleksi sumbu $y$	gradien menjadi $-m$
Rotasi $90^\circ$ (pusat $O$)	gradien menjadi $-\tfrac{1}{m}$
Rotasi $180^\circ$ (pusat $O$)	gradien tetap
Dilatasi pusat $O$	gradien tetap, konstanta dikali $k$

💡 Tips: Jika ragu, selalu kembali ke cara dua titik — pasti benar dan tidak perlu menghafal banyak rumus.

G. Latihan Soal

Garis $y = x + 2$ ditranslasikan oleh $T\binom{3}{1}$. Tentukan persamaan bayangannya!
Garis $y = -2x + 5$ dicerminkan terhadap sumbu $x$. Tentukan persamaan bayangannya!
Garis $y = 3x$ dirotasikan $180^\circ$ dengan pusat $O$. Tentukan persamaan bayangannya!
Garis $y = x + 1$ didilatasi dengan pusat $O$ dan $k = 2$. Tentukan persamaan bayangannya!
Garis $y = 4x - 3$ dicerminkan terhadap sumbu $y$. Tentukan persamaan bayangannya!

H. Kunci Jawaban

$y’ = x$ (karena $y’ - 1 = (x’ - 3) + 2 \Rightarrow y’ = x’$)
$y’ = 2x - 5$ (titik $(0,5)$, $(1,3)$ → bayangan $(0,-5)$, $(1,-3)$ → gradien $2$)
$y’ = 3x$ (rotasi $180^\circ$ mengubah $(0,0) \to (0,0)$, $(1,3) \to (-1,-3)$; gradien tetap $3$)
$y’ = 2x + 2$ (titik $(0,1)$, $(1,2)$ → bayangan $(0,2)$, $(2,4)$ → gradien $2$)
$y’ = -4x - 3$ (titik $(0,-3)$, $(1,1)$ → bayangan $(0,-3)$, $(-1,1)$ → gradien $-4$)

📝 Latihan Sumatif

Kerjakan soal latihan interaktif — nilai langsung tampil, maksimal 3 kali.