D. Dilatasi (Perbesaran dan Perkecilan)

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari subbab ini, murid diharapkan mampu:

1. Menjelaskan pengertian dilatasi dan faktor skala $k$
2. Menentukan bayangan titik dan bangun datar akibat dilatasi dengan pusat $O(0,0)$ dan faktor skala $k$
3. Membedakan dilatasi yang memperbesar ($k > 1$) dan memperkecil ($0 < k < 1$)

A. Apa Itu Dilatasi?

Dilatasi adalah transformasi yang mengubah ukuran bangun (memperbesar atau memperkecil) dengan bentuk yang tetap. Berbeda dengan refleksi, translasi, dan rotasi (yang mempertahankan ukuran), dilatasi menghasilkan bayangan yang sebangun dengan aslinya.

$$(x, y) \xrightarrow{D_{O,k}} (kx, ky)$$

• Jika $k > 1$: bangun diperbesar
• Jika $0 < k < 1$: bangun diperkecil
• Jika $k < 0$: bangun diperbesar/diperkecil berlawanan arah dari pusat

B. Dilatasi dengan Faktor Skala $k > 1$ (Memperbesar)

Contoh 1

Segitiga $ABC$ dengan $A(1,1)$, $B(3,1)$, $C(2,4)$ didilatasi dengan pusat $O(0,0)$ dan faktor skala $k = 2$. Tentukan bayangannya!

Jawab: $(x, y) \to (2x, 2y)$:

• $A(1,1) \to A’(2,2)$
• $B(3,1) \to B’(6,2)$
• $C(2,4) \to C’(4,8)$

Setiap panjang sisi bayangan 2 kali panjang sisi aslinya.

C. Dilatasi dengan Faktor Skala $0 < k < 1$ (Memperkecil)

Contoh 2

Persegi $ABCD$ dengan titik sudut $(0,0)$, $(4,0)$, $(4,4)$, $(0,4)$ didilatasi dengan pusat $O$ dan $k = \tfrac{1}{2}$. Tentukan bayangannya!

Jawab: $(x, y) \to \left(\tfrac{1}{2}x, \tfrac{1}{2}y\right)$:

• $(0,0) \to (0,0)$
• $(4,0) \to (2,0)$
• $(4,4) \to (2,2)$
• $(0,4) \to (0,2)$

Bayangan berupa persegi berukuran $2 \times 2$, setengah dari ukuran aslinya.

D. Penerapan: Zoom Foto

Memperbesar foto pada layar HP atau komputer adalah contoh dilatasi. Jika sebuah foto $4 \text{ cm} \times 6 \text{ cm}$ di-zoom $2\times$, ukurannya menjadi $8 \text{ cm} \times 12 \text{ cm}$.

E. Rangkuman

F. Latihan Soal

1. Tentukan bayangan titik $A(3, 5)$ jika didilatasi dengan pusat $O$ dan faktor skala $k = 2$!
2. Tentukan bayangan titik $B(-4, 6)$ jika didilatasi dengan pusat $O$ dan faktor skala $k = \tfrac{1}{2}$!
3. Titik $C(2, -3)$ didilatasi dengan pusat $O$ menghasilkan $C’(6, -9)$. Berapa faktor skala $k$?
4. Persegi panjang dengan titik sudut $(1,1)$, $(3,1)$, $(3,2)$, $(1,2)$ didilatasi dengan pusat $O$ dan $k = 3$. Tentukan koordinat bayangannya!
5. Sebuah lingkaran berjari-jari $4$ cm diperbesar dengan dilatasi $k = 3$. Berapa jari-jari bayangannya?

G. Kunci Jawaban

1. $A’(6, 10)$
2. $B’(-2, 3)$
3. $k = 3$ (karena $2k = 6$ dan $-3k = -9$)
4. $(3,3)$, $(9,3)$, $(9,6)$, $(3,6)$
5. $12$ cm (karena $4 \times 3$)