G. Korespondensi Satu-Satu

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari subbab ini, murid diharapkan mampu:

1. Menjelaskan pengertian korespondensi satu-satu
2. Menentukan apakah suatu fungsi merupakan korespondensi satu-satu
3. Menghitung banyak korespondensi satu-satu antara dua himpunan (pengayaan)

A. Pengertian Korespondensi Satu-Satu

Korespondensi satu-satu adalah fungsi dari $A$ ke $B$ di mana setiap anggota $A$ dipasangkan dengan tepat satu anggota $B$ dan setiap anggota $B$ dipasangkan dengan tepat satu anggota $A$ — tidak ada yang bercabang dan tidak ada yang tersisa.

Syarat: $n(A) = n(B)$.

B. Contoh Soal

Contoh 1

Fungsi $f$ dari $A = {1, 2, 3}$ ke $B = {a, b, c}$ dengan $f(1)=a$, $f(2)=b$, $f(3)=c$. Apakah $f$ korespondensi satu-satu?

Jawab: Ya — setiap anggota $A$ tepat satu pasangan, dan setiap anggota $B$ ($a, b, c$) semuanya terpasang tepat satu kali. $n(A) = n(B) = 3$. ✅

Contoh 2

Fungsi $g$ dari $A = {1, 2, 3}$ ke $B = {a, b, c}$ dengan $g(1)=a$, $g(2)=a$, $g(3)=b$. Apakah $g$ korespondensi satu-satu?

Jawab: Bukan. Anggota $a$ dipasang dua kali ($1$ dan $2$) dan anggota $c$ tidak terpasang.

C. Menghitung Banyak Korespondensi Satu-Satu

Banyak korespondensi satu-satu antara $A$ dan $B$ dengan $n(A) = n(B) = n$ adalah:

$$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 2 \times 1$$

Contoh 3

Berapa banyak korespondensi satu-satu yang mungkin antara $A = {1, 2, 3}$ dan $B = {a, b, c}$?

Jawab: $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

Ke enam cara itu: $(1a,2b,3c)$, $(1a,2c,3b)$, $(1b,2a,3c)$, $(1b,2c,3a)$, $(1c,2a,3b)$, $(1c,2b,3a)$.

D. Latihan Soal

1. Tuliskan pengertian korespondensi satu-satu!
2. Apa syarat banyak anggota agar dua himpunan dapat berkorespondensi satu-satu?
3. $A = {1, 2}$, $B = {a, b}$. Berapa banyak korespondensi satu-satu yang mungkin?
4. Fungsi $h(1)=x$, $h(2)=y$, $h(3)=z$ dari $A={1,2,3}$ ke $B={x,y,z}$. Apakah korespondensi satu-satu?
5. Berapa banyak korespondensi satu-satu antara himpunan dengan 4 anggota dan himpunan dengan 4 anggota?
6. Mengapa dua himpunan dengan banyak anggota berbeda tidak mungkin berkorespondensi satu-satu?

E. Kunci Jawaban

1. Fungsi di mana setiap anggota $A$ tepat satu pasangan di $B$ dan setiap anggota $B$ tepat satu pasangan di $A$
2. $n(A) = n(B)$
3. $2! = 2$: $(1a,2b)$ dan $(1b,2a)$
4. Ya — semua terpasang tepat satu kali
5. $4! = 24$
6. Karena jika jumlahnya beda, pasti ada anggota yang tersisa atau terpasang dua kali