C. Gradien Garis Melalui Dua Titik

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari subbab ini, murid diharapkan mampu:

1. Menentukan gradien garis yang melalui dua titik
2. Menggunakan rumus gradien dua titik dengan benar
3. Menyelesaikan soal yang melibatkan gradien dan titik

A. Rumus Gradien Dua Titik

Jika garis melalui titik $A(x_1, y_1)$ dan $B(x_2, y_2)$, maka gradiennya:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x}$$

B. Contoh Soal

Contoh 1

Tentukan gradien garis yang melalui $A(1,1)$ dan $B(4,5)$!

Jawab:

$$m = \frac{5 - 1}{4 - 1} = \frac{4}{3}$$

Contoh 2

Tentukan gradien garis yang melalui $P(-2,3)$ dan $Q(4,-1)$!

Jawab:

$$m = \frac{-1 - 3}{4 - (-2)} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$$

Contoh 3

Garis dengan gradien $2$ melalui titik $(3, 7)$ dan $(a, 1)$. Tentukan $a$!

Jawab:

$$\frac{1 - 7}{a - 3} = 2 \Rightarrow \frac{-6}{a-3} = 2 \Rightarrow -6 = 2a - 6 \Rightarrow a = 0$$

C. Latihan Soal

1. Tentukan gradien garis melalui $(2,3)$ dan $(6,7)$!
2. Tentukan gradien garis melalui $(-1,2)$ dan $(3,-2)$!
3. Tentukan gradien garis melalui $(0,5)$ dan $(4,5)$!
4. Gradien garis melalui $(1,2)$ dan $(3,b)$ adalah $4$. Tentukan $b$!
5. Tentukan gradien garis melalui $(2,-1)$ dan $(2,5)$!
6. Tiga titik $A(1,1)$, $B(3,3)$, $C(5,5)$: tentukan gradien $AB$ dan $BC$, lalu simpulkan!

D. Kunci Jawaban

1. $m = \dfrac{7-3}{6-2} = 1$
2. $m = \dfrac{-2-2}{3-(-1)} = \dfrac{-4}{4} = -1$
3. $m = \dfrac{5-5}{4-0} = 0$ (garis mendatar)
4. $\dfrac{b-2}{3-1} = 4 \Rightarrow \dfrac{b-2}{2} = 4 \Rightarrow b = 10$
5. $m = \dfrac{5-(-1)}{2-2} = \dfrac{6}{0}$ → tidak terdefinisi (garis tegak)
6. $m_{AB} = 1$, $m_{BC} = 1$ — sama, jadi ketiga titik segaris (kolinier)