A. Pengertian dan Notasi Bentuk Akar

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, siswa diharapkan mampu:

1. Mengidentifikasi bentuk akar $\sqrt{a}$ dengan benar
2. Menjelaskan syarat $a \geq 0$ agar $\sqrt{a}$ merupakan bilangan real
3. Membedakan bilangan rasional dan irasional
4. Mengelompokkan bilangan ke dalam bentuk akar atau bukan bentuk akar
5. Menentukan nilai bentuk akar sederhana

A. Pengertian Bentuk Akar

Bentuk akar adalah kebalikan dari bilangan berpangkat. Jika $a^n = b$, maka $\sqrt[n]{b} = a$. Untuk pangkat dua (kuadrat), kita menggunakan notasi akar tanpa angka indeks:

Definisi

$$\sqrt{a} = b \quad \text{berarti} \quad b^2 = a$$

dengan $a \geq 0$ dan $b \geq 0$.

Contoh 1: Akar Kuadrat Sederhana

B. Syarat Bentuk Akar sebagai Bilangan Real

Syarat utama: Bilangan di bawah tanda akar (disebut radikan) harus lebih dari atau sama dengan nol.

$$\boxed{a \geq 0 \quad \text{untuk} \quad \sqrt{a}}$$

Mengapa?

Kita tahu bahwa kuadrat dari bilangan real tidak pernah negatif:

$$(\text{positif})^2 = \text{positif}$$

$$(\text{negatif})^2 = \text{positif}$$

$$0^2 = 0$$

Karena tidak ada bilangan real yang jika dikuadratkan menghasilkan bilangan negatif, maka $\sqrt{-4}$ bukan bilangan real.

Contoh 2: Mana yang Real?

Catatan: $\sqrt{-1}$ disebut bilangan imajiner dan ditulis dengan simbol $i$, dipelajari di tingkat yang lebih tinggi.

C. Bilangan Rasional dan Irasional

Bilangan Rasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk $\frac{p}{q}$ dengan $p, q$ bilangan bulat dan $q \neq 0$.

Ciri: Jika dinyatakan dalam desimal, angkanya berhenti (terminating) atau berulang (repeating).

Bilangan Irasional

Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk $\frac{p}{q}$.

Ciri: Jika dinyatakan dalam desimal, angkanya tidak berhenti dan tidak berulang.

Tabel Perbandingan

Aturan Penting

$$\sqrt{a} = \text{bilangan bulat} \quad \text{jika dan hanya jika} \quad a \text{ adalah bilangan kuadrat sempurna}$$

Kuadrat sempurna: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, …$

D. Akar Pangkat Tiga dan Seterusnya

Selain akar kuadrat ($\sqrt{a} = \sqrt[2]{a}$), ada juga akar pangkat tiga, empat, dan seterusnya.

Definisi Umum

$$\sqrt[n]{a} = b \quad \text{berarti} \quad b^n = a$$

dengan $n$ bilangan bulat positif ($n \geq 2$).

Contoh 3: Akar Pangkat Tiga

Syarat untuk akar pangkat ganjil: Bilangan di bawah akar boleh negatif.

$$\sqrt[3]{-8} = -2 \quad \text{karena} \quad (-2)^3 = -8$$

E. Hubungan Bentuk Akar dengan Bilangan Berpangkat

Bentuk akar dapat ditulis dalam bentuk bilangan berpangkat pecahan:

$$\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$$

$$\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$$

$$\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$$

Contoh 4: Mengubah ke Bentuk Pangkat

F. Contoh Soal Cerita

Contoh 5: Luas Persegi

Luas sebuah persegi adalah $49 \text{ cm}^2$. Berapa panjang sisi persegi tersebut?

Penyelesaian:

$$L = s^2$$

$$49 = s^2$$

$$s = \sqrt{49}$$

$$s = 7 \text{ cm}$$

Jadi, panjang sisi persegi adalah $\mathbf{7 \text{ cm}}$.

Contoh 6: Diagonal Persegi

Sebuah persegi memiliki panjang sisi $4$ cm. Berapa panjang diagonal persegi tersebut?

$$d = \sqrt{s^2 + s^2} = \sqrt{4^2 + 4^2}$$

$$d = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$$

$$d = \sqrt{32} \text{ cm}$$

Bentuk $\sqrt{32}$ adalah bentuk akar (irasional).

G. Rangkuman

H. Latihan Soal

1. Hitung $\sqrt{81}$!
2. Manakah yang merupakan bilangan real: $\sqrt{-16}$ atau $\sqrt{16}$? Jelaskan!
3. Kelompokkan bilangan berikut ke dalam rasional atau irasional:
   • $\sqrt{36}$
   • $\sqrt{8}$
   • $\sqrt{49}$
   • $\sqrt{12}$
4. Tuliskan $\sqrt[3]{125}$ dalam bentuk bilangan bulat!
5. Hitung $\sqrt{0,01}$!
6. Nyatakan $\sqrt[4]{5}$ dalam bentuk bilangan berpangkat!
7. Luas persegi adalah $121 \text{ cm}^2$. Tentukan panjang sisinya!
8. Manakah yang lebih besar: $\sqrt{144}$ atau $\sqrt{169}$?
9. Hitung $\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}$!
10. Jika $x^2 = 50$, nyatakan $x$ dalam bentuk akar yang paling sederhana!

I. Kunci Jawaban

1. $\sqrt{81} = 9$
2. $\sqrt{16} = 4$ (real). $\sqrt{-16}$ bukan bilangan real karena tidak ada bilangan real yang kuadratnya $-16$.
3. Rasional: $\sqrt{36} = 6$, $\sqrt{49} = 7$. Irasional: $\sqrt{8}$, $\sqrt{12}$.
4. $\sqrt[3]{125} = 5$
5. $\sqrt{0,01} = 0,1$
6. $\sqrt[4]{5} = 5^{\frac{1}{4}}$
7. $s = \sqrt{121} = 11 \text{ cm}$
8. $\sqrt{169} = 13$ lebih besar dari $\sqrt{144} = 12$
9. $\sqrt[3]{-\frac{1}{8}} = -\frac{1}{2}$ karena $\left(-\frac{1}{2}\right)^3 = -\frac{1}{8}$
10. $x = \sqrt{50}$

J. Asesmen Sumatif

Kerjakan soal-soal berikut dengan teliti. Pilih satu jawaban yang paling tepat untuk soal pilihan ganda, dan kerjakan soal uraian secara lengkap.

Bagian A — Soal Mudah (Skor 4 × 10 = 40)

1. Hasil dari $\sqrt{64}$ adalah …

   • A. $6$
   • B. $7$
   • C. $8$
   • D. $9$

2. Di antara bilangan berikut, yang bukan merupakan bilangan real adalah …

   • A. $\sqrt{25}$
   • B. $\sqrt{0}$
   • C. $\sqrt{-4}$
   • D. $\sqrt{1}$

3. Nilai dari $\sqrt[3]{27}$ adalah …

   • A. $2$
   • B. $3$
   • C. $4$
   • D. $9$

4. Bentuk pangkat dari $\sqrt[4]{3}$ adalah …

   • A. $3^4$
   • B. $3^{\frac{1}{4}}$
   • C. $3^{\frac{1}{2}}$
   • D. $4^3$

Bagian B — Soal Sedang (Skor 4 × 15 = 60)

5. Di antara bilangan berikut, manakah yang merupakan bilangan irasional?

   • A. $\sqrt{81}$
   • B. $\sqrt{\frac{9}{4}}$
   • C. $\sqrt{12}$
   • D. $\sqrt{0,25}$

6. Diketahui luas sebuah persegi adalah $144 \text{ cm}^2$. Panjang diagonal persegi tersebut adalah … cm.

   • A. $12$
   • B. $12\sqrt{2}$
   • C. $24$
   • D. $144$

7. Nilai dari $\sqrt{0,09} + \sqrt{0,16}$ adalah …

   • A. $0,7$
   • B. $0,25$
   • C. $0,5$
   • D. $0,07$

8. Diketahui $x^2 = 72$. Nilai $x$ dalam bentuk akar yang paling sederhana adalah …

   • A. $\sqrt{72}$
   • B. $6\sqrt{2}$
   • C. $8\sqrt{2}$
   • D. $36$

Bagian C — Soal Sulit / HOTs (Skor 2 × 25 = 50)

9. Soal HOTS: Sebuah taman berbentuk persegi memiliki luas $98 \text{ m}^2$. Di tengah taman terdapat sebuah kolam berbentuk persegi dengan luas $18 \text{ m}^2$. Jika sisa area taman (di luar kolam) akan ditanami rumput, berapakah panjang sisi taman tersebut? Kemudian, tunjukkan apakah panjang sisi kolam dapat dinyatakan sebagai bilangan rasional atau irasional. Jelaskan jawabanmu.

10. Soal HOTS: Andi menyatakan bahwa “$\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ untuk semua bilangan real $a$ dan $b$ yang positif.”

    • (a) Berikan satu contoh yang menunjukkan pernyataan Andi salah.
    • (b) Jelaskan secara matematis mengapa pernyataan tersebut tidak berlaku secara umum.
    • (c) Untuk nilai $a$ dan $b$ seperti apa pernyataan Andi benar? Buktikan.

Total Skor Maksimal: 150