E. Penerapan Bentuk Akar dalam Kehidupan Sehari-hari

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, siswa diharapkan mampu:

1. Menerapkan bentuk akar dalam teorema Pythagoras
2. Menerapkan bentuk akar dalam perhitungan geometri
3. Menyelesaikan masalah kontekstual yang melibatkan bentuk akar
4. Menyederhanakan hasil perhitungan ke bentuk akar paling sederhana

A. Teorema Pythagoras

Rumus

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

dengan $c$ adalah sisi miring segitiga siku-siku, $a$ dan $b$ adalah sisi tegaknya.

Contoh 1: Diagonal Persegi Panjang

Sebuah persegi panjang memiliki panjang $8$ cm dan lebar $6$ cm. Berapa panjang diagonalnya?

Penyelesaian:

$$d = \sqrt{8^2 + 6^2}$$

$$d = \sqrt{64 + 36}$$

$$d = \sqrt{100}$$

$$d = 10 \text{ cm}$$

Jadi, panjang diagonal persegi panjang adalah $\mathbf{10 \text{ cm}}$.

Contoh 2: Tangga pada Tembok

Sebuah tangga sepanjang $5$ meter bersandar pada tembok. Jika jarak kaki tangga dari tembok adalah $3$ meter, berapa tinggi tembok yang dicapai tangga?

Penyelesaian:

$$t = \sqrt{5^2 - 3^2}$$

$$t = \sqrt{25 - 9}$$

$$t = \sqrt{16}$$

$$t = 4 \text{ meter}$$

Jadi, tinggi tembok yang dicapai tangga adalah $\mathbf{4 \text{ meter}}$.

Contoh 3: Diagonal Ruang

Sebuah balok memiliki ukuran $p = 4$ cm, $l = 3$ cm, $t = 12$ cm. Berapa panjang diagonal ruangnya?

$$d_r = \sqrt{p^2 + l^2 + t^2}$$

$$d_r = \sqrt{4^2 + 3^2 + 12^2}$$

$$d_r = \sqrt{16 + 9 + 144}$$

$$d_r = \sqrt{169}$$

$$d_r = 13 \text{ cm}$$

Contoh 4: Segitiga dengan Hasil Bentuk Akar

Sebuah segitiga siku-siku memiliki sisi tegak $3$ cm dan $5$ cm. Berapa panjang sisi miringnya?

$$c = \sqrt{3^2 + 5^2}$$

$$c = \sqrt{9 + 25}$$

$$c = \sqrt{34} \text{ cm}$$

Bentuk $\sqrt{34}$ sudah sederhana (tidak bisa disederhanakan lagi).

B. Geometri Bangun Ruang

Contoh 5: Volume Kubus

Volume sebuah kubus adalah $64 \text{ cm}^3$. Berapa panjang rusuk kubus tersebut?

Penyelesaian:

$$V = s^3$$

$$s = \sqrt[3]{V}$$

$$s = \sqrt[3]{64}$$

$$s = 4 \text{ cm}$$

Jadi, panjang rusuk kubus adalah $\mathbf{4 \text{ cm}}$.

Contoh 6: Luas Segitiga Siku-Siku

Sebuah segitiga siku-siku memiliki sisi miring $10$ cm dan salah satu sisi tegak $6$ cm. Hitung luas segitiga tersebut!

Penyelesaian:

$$b = \sqrt{10^2 - 6^2}$$

$$b = \sqrt{100 - 36}$$

$$b = \sqrt{64}$$

$$b = 8 \text{ cm}$$

$$L = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \text{ cm}^2$$

Jadi, luas segitiga adalah $\mathbf{24 \text{ cm}^2}$.

C. Penerapan Lainnya

Contoh 7: Menghitung Sisi Persegi dari Luas

Luas sebuah persegi adalah $50 \text{ cm}^2$. Berapa panjang sisi persegi tersebut?

$$s = \sqrt{L}$$

$$s = \sqrt{50}$$

$$s = \sqrt{25 \times 2}$$

$$s = 5\sqrt{2} \text{ cm}$$

Jadi, panjang sisi persegi adalah $\mathbf{5\sqrt{2} \text{ cm}}$.

Contoh 8: Skala pada Peta

Jarak sebenarnya antara dua kota adalah $120$ km. Pada peta, jarak kedua kota tersebut adalah $6$ cm. Berapa skala peta tersebut?

Penyelesaian:

$$\text{Skala} = \frac{\text{Jarak pada peta}}{\text{Jarak sebenarnya}}$$

$$= \frac{6 \text{ cm}}{120 \text{ km}}$$

$$= \frac{6}{12.000.000}$$

$$= \frac{1}{2.000.000}$$

Jadi, skala peta adalah $\mathbf{1 : 2.000.000}$.

D. Rangkuman

E. Latihan Soal

1. Sebuah persegi panjang berukuran $9$ cm $\times$ $12$ cm. Hitung panjang diagonalnya!
2. Sebuah tangga sepanjang $13$ meter bersandar di tembok. Jarak kaki tangga dari tembok $5$ meter. Berapa tinggi tembok?
3. Sebuah segitiga siku-siku memiliki sisi tegak $6$ cm dan $8$ cm. Hitung panjang sisi miringnya!
4. Luas sebuah persegi adalah $72 \text{ cm}^2$. Nyatakan panjang sisinya dalam bentuk akar sederhana!
5. Sebuah balok memiliki ukuran $p = 6$ cm, $l = 6$ cm, $t = 8$ cm. Hitung diagonal ruangnya!
6. Volume kubus adalah $216 \text{ cm}^3$. Berapa panjang rusuknya?
7. Jarak sebenarnya kota A ke B adalah $150$ km. Jarak pada peta $5$ cm. Berapa skala peta?
8. Sebuah segitiga siku-siku sama kaki memiliki panjang sisi kaki $4$ cm. Hitung panjang sisi miringnya!

F. Kunci Jawaban

1. $d = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ cm
2. $t = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ meter
3. $c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ cm
4. $s = \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}$ cm
5. $d_r = \sqrt{6^2 + 6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 36 + 64} = \sqrt{136} = 2\sqrt{34}$ cm
6. $s = \sqrt[3]{216} = 6$ cm
7. Skala $= 5 : 15.000.000 = 1 : 3.000.000$
8. $c = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ cm

G. Asesmen Sumatif

Kerjakan soal-soal berikut dengan teliti. Pilih satu jawaban yang paling tepat untuk soal pilihan ganda, dan kerjakan soal uraian secara lengkap.

Bagian A — Soal LOTS / Mudah (Skor 5 × 10 = 50)

1. Sebuah persegi panjang memiliki panjang $6$ cm dan lebar $8$ cm. Panjang diagonal persegi panjang tersebut adalah … cm.

   • A. $10$
   • B. $12$
   • C. $14$
   • D. $48$

2. Sebuah segitiga siku-siku memiliki sisi tegak $3$ cm dan $4$ cm. Panjang sisi miringnya adalah … cm.

   • A. $5$
   • B. $7$
   • C. $12$
   • D. $25$

3. Luas sebuah persegi adalah $49 \text{ cm}^2$. Panjang sisi persegi tersebut adalah … cm.

   • A. $6$
   • B. $7$
   • C. $8$
   • D. $24{,}5$

4. Volume sebuah kubus adalah $125 \text{ cm}^3$. Panjang rusuk kubus tersebut adalah … cm.

   • A. $5$
   • B. $25$
   • C. $15$
   • D. $125$

5. Sebuah tangga sepanjang $10$ meter bersandar pada tembok. Jika jarak kaki tangga dari tembok adalah $6$ meter, maka tinggi tembok yang dicapai tangga adalah … meter.

   • A. $4$
   • B. $6$
   • C. $8$
   • D. $10$

Bagian B — Soal MOTS / Sedang (Skor 3 × 15 = 45)

6. Luas sebuah persegi adalah $72 \text{ cm}^2$. Panjang sisi persegi tersebut dalam bentuk akar paling sederhana adalah … cm.

   • A. $6\sqrt{2}$
   • B. $8\sqrt{2}$
   • C. $36\sqrt{2}$
   • D. $12\sqrt{6}$

7. Sebuah segitiga siku-siku memiliki sisi tegak $5$ cm dan $7$ cm. Panjang sisi miringnya dalam bentuk akar paling sederhana adalah … cm.

   • A. $\sqrt{12}$
   • B. $\sqrt{35}$
   • C. $\sqrt{74}$
   • D. $2\sqrt{3}$

8. Sebuah balok berukuran $p = 4$ cm, $l = 4$ cm, $t = 7$ cm. Diagonal ruang balok tersebut dalam bentuk akar paling sederhana adalah … cm.

   • A. $9$
   • B. $\sqrt{65}$
   • C. $\sqrt{81}$
   • D. $15$

Bagian C — Soal HOTS / Sulit (Skor 2 × 27,5 = 55)

9. Soal HOTS: Sebuah taman berbentuk persegi panjang dengan panjang $(3 + \sqrt{2})$ meter dan lebar $(3 - \sqrt{2})$ meter.

   • (a) Hitunglah luas taman tersebut dalam bentuk $a + b\sqrt{c}$ yang paling sederhana.
   • (b) Hitunglah panjang diagonal taman tersebut dalam bentuk akar yang paling sederhana.
   • (c) Jika di sekeliling taman akan dipasang pagar seharga Rp 40.000 per meter, hitunglah biaya total pemasangan pagar. (Sederhanakan jawabanmu.)

10. Soal HOTS: Diketahui dua buah segitiga siku-siku:

    • Segitiga A memiliki sisi tegak $a$ dan $b$, dengan sisi miring $c = \sqrt{a^2 + b^2}$.

    • Segitiga B memiliki sisi tegak $a$ dan $b$ seperti Segitiga A, tetapi setiap sisi diperbesar sehingga sisi miringnya menjadi $2c$.

    • (a) Jika sisi miring Segitiga B adalah $2c = 2\sqrt{a^2 + b^2}$, tunjukkan bahwa sisi tegak Segitiga B masing-masing menjadi $2a$ dan $2b$.

    • (b) Jika $a = 3$ dan $b = 4$, hitunglah luas Segitiga A dan luas Segitiga B. Berapa kali lipat luas Segitiga B dibanding Segitiga A?

    • (c) Berdasarkan jawaban (b), buatlah kesimpulan umum tentang hubungan antara perbesaran sisi dengan perbesaran luas pada segitiga siku-siku. Buktikan secara matematis.

Total Skor Maksimal: 150