← Kembali ke Bentuk Akar

C. Operasi Aljabar pada Bentuk Akar

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, siswa diharapkan mampu:

  1. Menjumlahkan dan mengurangkan bentuk akar sejenis
  2. Mengalikan bentuk akar dengan koefisien dan sesama bentuk akar
  3. Membagi bentuk akar
  4. Menerapkan sifat distributif pada bentuk akar
  5. Menyederhanakan hasil operasi aljabar bentuk akar

A. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Syarat

Bentuk akar hanya dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika memiliki radikan yang sama (akar sejenis).

Rumus

$$a\sqrt{c} + b\sqrt{c} = (a + b)\sqrt{c}$$

$$a\sqrt{c} - b\sqrt{c} = (a - b)\sqrt{c}$$

Penting: Yang dijumlah atau dikurangkan adalah koefisien-nya, bukan angka di dalam akar!

Contoh 1: Penjumlahan

SoalPenyelesaian
$3\sqrt{2} + 5\sqrt{2}$$(3+5)\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$
$2\sqrt{3} + 7\sqrt{3}$$(2+7)\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$
$\sqrt{5} + 4\sqrt{5}$$(1+4)\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$
$6\sqrt{7} + 2\sqrt{7} + 3\sqrt{7}$$(6+2+3)\sqrt{7} = 11\sqrt{7}$

Contoh 2: Pengurangan

SoalPenyelesaian
$8\sqrt{2} - 3\sqrt{2}$$(8-3)\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$
$10\sqrt{5} - 4\sqrt{5}$$(10-4)\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$
$7\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - \sqrt{3}$$(7-2-1)\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$

Contoh 3: Tidak Sejenis

Jika radikan berbeda, tidak bisa dijumlah atau dikurangkan:

SoalHasilAlasan
$3\sqrt{2} + 5\sqrt{3}$Tetap $3\sqrt{2} + 5\sqrt{3}$Beda radikan (2 vs 3)
$4\sqrt{5} - 2\sqrt{2}$Tetap $4\sqrt{5} - 2\sqrt{2}$Beda radikan (5 vs 2)
$\sqrt{2} + \sqrt{7}$Tetap $\sqrt{2} + \sqrt{7}$Beda radikan

Contoh 4: Sederhanakan Dulu

Terkadang bentuk akar perlu disederhanakan terlebih dahulu agar bisa dijumlahkan.

$$\sqrt{12} + \sqrt{27}$$

$$= 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3}$$

$$= (2+3)\sqrt{3}$$

$$= 5\sqrt{3}$$

SoalSederhanakanHasil
$\sqrt{8} + \sqrt{18}$$2\sqrt{2} + 3\sqrt{2}$$5\sqrt{2}$
$\sqrt{20} - \sqrt{45}$$2\sqrt{5} - 3\sqrt{5}$$-\sqrt{5}$
$\sqrt{50} + \sqrt{32}$$5\sqrt{2} + 4\sqrt{2}$$9\sqrt{2}$

B. Perkalian Bentuk Akar

Rumus Dasar

$$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$$

dengan $a \geq 0$ dan $b \geq 0$.

Perkalian Koefisien dengan Koefisien

$$a\sqrt{b} \times c\sqrt{d} = (a \times c) \times \sqrt{b \times d}$$

Contoh 5: Perkalian

SoalPenyelesaian
$\sqrt{3} \times \sqrt{5}$$\sqrt{3 \times 5} = \sqrt{15}$
$\sqrt{2} \times \sqrt{8}$$\sqrt{2 \times 8} = \sqrt{16} = 4$
$3\sqrt{2} \times 4\sqrt{5}$$(3 \times 4) \times \sqrt{2 \times 5} = 12\sqrt{10}$
$2\sqrt{6} \times 5\sqrt{3}$$(2 \times 5) \times \sqrt{6 \times 3} = 10\sqrt{18} = 10 \times 3\sqrt{2} = 30\sqrt{2}$
$(-2\sqrt{7}) \times 3\sqrt{2}$$(-2 \times 3) \times \sqrt{7 \times 2} = -6\sqrt{14}$

Perkalian Bentuk $(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})$

$$(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{c} + \sqrt{d}) = \sqrt{ac} + \sqrt{ad} + \sqrt{bc} + \sqrt{bd}$$

Contoh 6: Perkalian Dua Suku

SoalPenyelesaian
$(2 + \sqrt{3})(3 + \sqrt{2})$$6 + 2\sqrt{2} + 3\sqrt{3} + \sqrt{6}$
$(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2})$$5 - 2 = 3$ (bentuk sekawan)
$(3\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 4)$$3(2) + 12\sqrt{2} - \sqrt{2} - 4 = 6 + 11\sqrt{2} - 4 = 2 + 11\sqrt{2}$

Perhatikan contoh kedua: $(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b$. Ini disebut bentuk sekawan dan sangat berguna untuk merasionalkan penyebut.

Kuadrat Bentuk Akar

$$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b$$

$$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a - 2\sqrt{ab} + b$$

Contoh 7: Kuadrat

SoalPenyelesaian
$(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$$3 + 2\sqrt{6} + 2 = 5 + 2\sqrt{6}$
$(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2$$5 - 2\sqrt{15} + 3 = 8 - 2\sqrt{15}$
$(2\sqrt{2} + \sqrt{3})^2$$(2\sqrt{2})^2 + 2(2\sqrt{2})(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2 = 8 + 4\sqrt{6} + 3 = 11 + 4\sqrt{6}$

C. Pembagian Bentuk Akar

Rumus Dasar

$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$$

dengan $a \geq 0$ dan $b > 0$.

Contoh 8: Pembagian

SoalPenyelesaian
$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$$\sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4} = 2$
$\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}}$$\sqrt{\frac{20}{5}} = \sqrt{4} = 2$
$\frac{6\sqrt{18}}{2\sqrt{3}}$$\frac{6}{2} \times \sqrt{\frac{18}{3}} = 3 \times \sqrt{6} = 3\sqrt{6}$
$\frac{10\sqrt{50}}{5\sqrt{2}}$$\frac{10}{5} \times \sqrt{\frac{50}{2}} = 2 \times \sqrt{25} = 2 \times 5 = 10$

D. Sifat Distributif pada Bentuk Akar

Rumus

$$\sqrt{a}(b + \sqrt{c}) = b\sqrt{a} + \sqrt{ac}$$

Contoh 9: Distributif

SoalPenyelesaian
$\sqrt{2}(3 + \sqrt{5})$$3\sqrt{2} + \sqrt{10}$
$\sqrt{3}(2\sqrt{3} + 4)$$2(3) + 4\sqrt{3} = 6 + 4\sqrt{3}$
$2\sqrt{5}(\sqrt{5} - \sqrt{2})$$2(5) - 2\sqrt{10} = 10 - 2\sqrt{10}$

E. Rangkuman

NoOperasiRumusSyarat
1Penjumlahan$a\sqrt{c} + b\sqrt{c} = (a+b)\sqrt{c}$Radikan sama
2Pengurangan$a\sqrt{c} - b\sqrt{c} = (a-b)\sqrt{c}$Radikan sama
3Perkalian$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$$a,b \geq 0$
4Perkalian$a\sqrt{b} \times c\sqrt{d} = ac\sqrt{bd}$$b,d \geq 0$
5Pembagian$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$$a \geq 0, b > 0$
6Distributif$\sqrt{a}(b + \sqrt{c}) = b\sqrt{a} + \sqrt{ac}$$a,c \geq 0$
7Sekawan$(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b$$a,b \geq 0$
8Kuadrat jumlah$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b$$a,b \geq 0$
💡 Tips: Operasi bentuk akar mirip dengan operasi aljabar biasa. Anggap $\sqrt{a}$ seperti variabel $x$. Maka $3\sqrt{2} + 5\sqrt{2}$ sama seperti $3x + 5x = 8x$.

F. Latihan Soal

  1. $4\sqrt{3} + 7\sqrt{3} = \dots$
  2. $9\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = \dots$
  3. $\sqrt{8} + \sqrt{32} = \dots$
  4. $3\sqrt{2} \times 5\sqrt{3} = \dots$
  5. $(\sqrt{3} + \sqrt{5})(\sqrt{3} - \sqrt{5}) = \dots$
  6. $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \dots$
  7. $\sqrt{3}(2\sqrt{3} + \sqrt{6}) = \dots$
  8. $(\sqrt{7} + \sqrt{2})^2 = \dots$
  9. $2\sqrt{12} - \sqrt{27} + \sqrt{48} = \dots$
  10. $(3 + \sqrt{2})(4 - \sqrt{8}) = \dots$

G. Kunci Jawaban

  1. $4\sqrt{3} + 7\sqrt{3} = 11\sqrt{3}$
  2. $9\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = 7\sqrt{5}$
  3. $\sqrt{8} + \sqrt{32} = 2\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$
  4. $3\sqrt{2} \times 5\sqrt{3} = 15\sqrt{6}$
  5. $(\sqrt{3} + \sqrt{5})(\sqrt{3} - \sqrt{5}) = 3 - 5 = -2$
  6. $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5$
  7. $\sqrt{3}(2\sqrt{3} + \sqrt{6}) = 2(3) + \sqrt{18} = 6 + 3\sqrt{2}$
  8. $(\sqrt{7} + \sqrt{2})^2 = 7 + 2\sqrt{14} + 2 = 9 + 2\sqrt{14}$
  9. $2\sqrt{12} - \sqrt{27} + \sqrt{48} = 4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$
  10. $(3 + \sqrt{2})(4 - \sqrt{8}) = 12 - 3\sqrt{8} + 4\sqrt{2} - \sqrt{16}$
    $= 12 - 6\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - 4 = 8 - 2\sqrt{2}$

H. Asesmen Sumatif

Kerjakan soal-soal berikut dengan teliti. Pilih satu jawaban yang paling tepat untuk soal pilihan ganda, dan kerjakan soal uraian secara lengkap.

Bagian A — Soal Mudah (Skor 4 × 10 = 40)

  1. Hasil dari $5\sqrt{3} + 4\sqrt{3}$ adalah …

    • A. $9\sqrt{6}$
    • B. $9\sqrt{3}$
    • C. $20\sqrt{3}$
    • D. $9$

  2. Hasil dari $\sqrt{2} \times \sqrt{8}$ adalah …

    • A. $\sqrt{10}$
    • B. $4$
    • C. $2\sqrt{2}$
    • D. $16$

  3. Hasil dari $10\sqrt{7} - 3\sqrt{7}$ adalah …

    • A. $7\sqrt{7}$
    • B. $7\sqrt{14}$
    • C. $30\sqrt{7}$
    • D. $7$

  4. Hasil dari $\dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}$ adalah …

    • A. $3$
    • B. $9$
    • C. $\sqrt{9}$
    • D. $3\sqrt{3}$

Bagian B — Soal Sedang (Skor 4 × 15 = 60)

  1. Hasil dari $\sqrt{18} + \sqrt{50} - \sqrt{32}$ adalah …

    • A. $3\sqrt{2}$
    • B. $5\sqrt{2}$
    • C. $6\sqrt{2}$
    • D. $9\sqrt{2}$

  2. Hasil dari $2\sqrt{3} \times 4\sqrt{6}$ adalah …

    • A. $8\sqrt{18}$
    • B. $24\sqrt{2}$
    • C. $8\sqrt{9}$
    • D. $48\sqrt{2}$

  3. Hasil dari $(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})$ adalah …

    • A. $4$
    • B. $8$
    • C. $6 - 2 = 4$
    • D. $6 + 2 = 8$

  4. Hasil dari $(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2$ adalah …

    • A. $5 + 3 = 8$
    • B. $8 + 2\sqrt{15}$
    • C. $8 + \sqrt{15}$
    • D. $5 + 2\sqrt{15} + 3$

Bagian C — Soal Sulit / HOTs (Skor 2 × 25 = 50)

  1. Soal HOTS: Sebuah taman berbentuk persegi panjang memiliki panjang $(2 + \sqrt{3})$ meter dan lebar $(3 - \sqrt{3})$ meter.

    • (a) Hitunglah luas taman tersebut dalam bentuk $a + b\sqrt{c}$ yang paling sederhana.
    • (b) Hitunglah keliling taman tersebut dalam bentuk $a + b\sqrt{c}$ yang paling sederhana.
    • (c) Jika di sekeliling taman akan dipasang pagar seharga Rp 35.000 per meter, hitunglah biaya total pemasangan pagar. (Sederhanakan jawabanmu.)

  2. Soal HOTS: Tiga orang siswa diminta menghitung $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$.

    • Andi menjawab: $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = 3 + 2 = 5$

    • Budi menjawab: $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = 3 + 2\sqrt{6} + 2 = 5 + 2\sqrt{6}$

    • Citra menjawab: $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2 = 5$

    • (a) Siapa yang menjawab benar? Jelaskan alasannya.

    • (b) Jelaskan kesalahan konsep yang dilakukan oleh siswa yang menjawab salah.

    • (c) Mengapa kesalahan ini sering terjadi? Buatlah satu contoh lain yang menunjukkan bahwa $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 \neq a + b$, lalu hitunglah nilai sebenarnya.

Total Skor Maksimal: 150

📝 Latihan Sumatif
Kerjakan soal latihan interaktif — nilai langsung tampil, maksimal 3 kali.