← Kembali ke Bentuk Akar

B. Menyederhanakan Bentuk Akar

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, siswa diharapkan mampu:

  1. Menyederhanakan bentuk akar $\sqrt{a}$ dengan $a$ bukan kuadrat sempurna
  2. Mengubah $\sqrt{a \times b}$ menjadi $\sqrt{a} \times \sqrt{b}$
  3. Menentukan faktor kuadrat sempurna dari suatu bilangan
  4. Menyederhanakan bentuk akar pecahan
  5. Membedakan bentuk akar yang sudah sederhana dan yang belum

A. Konsep Dasar Menyederhanakan Bentuk Akar

Bentuk akar $\sqrt{a}$ dikatakan sederhana jika bilangan $a$ tidak memiliki faktor kuadrat sempurna selain 1.

Sifat Penting

$$\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$$

dengan $a \geq 0$ dan $b \geq 0$.

Strategi Menyederhanakan

Untuk menyederhanakan $\sqrt{a}$:

  1. Faktorkan $a$ menjadi perkalian bilangan kuadrat sempurna dengan bilangan lainnya
  2. Keluarkan akar dari faktor kuadrat sempurna
  3. Sederhanakan hasilnya

B. Kuadrat Sempurna yang Perlu Dihafal

$n$$n^2$
11
24
39
416
525
636
749
864
981
10100
11121
12144
13169
14196
15225

C. Langkah Demi Langkah

Contoh 1: Menyederhanakan $\sqrt{12}$

$$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} \quad (\text{4 adalah kuadrat sempurna terbesar yang membagi 12})$$

$$\sqrt{12} = \sqrt{4} \times \sqrt{3}$$

$$\sqrt{12} = 2 \times \sqrt{3}$$

$$\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$

Jadi, $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

Contoh 2: Menyederhanakan $\sqrt{50}$

$$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} \quad (\text{25 adalah kuadrat sempurna terbesar yang membagi 50})$$

$$\sqrt{50} = \sqrt{25} \times \sqrt{2}$$

$$\sqrt{50} = 5 \times \sqrt{2}$$

$$\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$

Contoh 3: Menyederhanakan $\sqrt{72}$

$$\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} \quad (\text{36 adalah kuadrat sempurna terbesar})$$

$$\sqrt{72} = \sqrt{36} \times \sqrt{2}$$

$$\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$$

Contoh 4: Menyederhanakan $\sqrt{48}$

$$\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} \quad (\text{16 adalah kuadrat sempurna terbesar})$$

$$\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$$

Tabel Perbandingan

Bentuk AwalKuadrat Sempurna TerbesarBentuk Sederhana
$\sqrt{8}$$4 = 2^2$$2\sqrt{2}$
$\sqrt{18}$$9 = 3^2$$3\sqrt{2}$
$\sqrt{20}$$4 = 2^2$$2\sqrt{5}$
$\sqrt{27}$$9 = 3^2$$3\sqrt{3}$
$\sqrt{28}$$4 = 2^2$$2\sqrt{7}$
$\sqrt{32}$$16 = 4^2$$4\sqrt{2}$
$\sqrt{44}$$4 = 2^2$$2\sqrt{11}$
$\sqrt{45}$$9 = 3^2$$3\sqrt{5}$
$\sqrt{50}$$25 = 5^2$$5\sqrt{2}$
$\sqrt{54}$$9 = 3^2$$3\sqrt{6}$
$\sqrt{72}$$36 = 6^2$$6\sqrt{2}$
$\sqrt{75}$$25 = 5^2$$5\sqrt{3}$
$\sqrt{80}$$16 = 4^2$$4\sqrt{5}$
$\sqrt{96}$$16 = 4^2$$4\sqrt{6}$
$\sqrt{108}$$36 = 6^2$$6\sqrt{3}$
$\sqrt{112}$$16 = 4^2$$4\sqrt{7}$
$\sqrt{125}$$25 = 5^2$$5\sqrt{5}$

D. Menyederhanakan Akar dari Pecahan

Sifat

$$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$

dengan $a \geq 0$ dan $b > 0$.

Contoh 5: Pecahan dalam Akar

SoalPenyelesaian
$\sqrt{\frac{4}{9}}$$\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}$
$\sqrt{\frac{25}{36}}$$\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{36}} = \frac{5}{6}$
$\sqrt{\frac{3}{4}}$$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sqrt{\frac{2}{9}}$$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$

E. Bentuk $a\sqrt{b}$ dan Penjumlahan dalam Akar

Perhatikan!

$$\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$$

Contoh 6: Jebakan

$$\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

$$\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$$

$$\text{Terbukti } \sqrt{9 + 16} \neq \sqrt{9} + \sqrt{16}$$

Penting: Bentuk akar tidak bersifat distributif terhadap penjumlahan!

F. Rangkuman

NoKonsepRumusContoh
1Perkalian dalam akar$\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$$\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$
2Pecahan dalam akar$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$\sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
3Penjumlahan dalam akar$\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$$\sqrt{9+16} \neq \sqrt{9}+\sqrt{16}$
4Bentuk sederhanaTidak ada faktor kuadrat sempurna$\sqrt{7}$ sudah sederhana
💡 Tips: Untuk menyederhanakan $\sqrt{a}$, cari bilangan kuadrat sempurna TERBESAR yang bisa membagi $a$. Latihan rutin dengan bilangan 1–150 akan membuatmu mahir!

G. Latihan Soal

Sederhanakan bentuk akar berikut!

  1. $\sqrt{20}$
  2. $\sqrt{28}$
  3. $\sqrt{45}$
  4. $\sqrt{54}$
  5. $\sqrt{63}$
  6. $\sqrt{75}$
  7. $\sqrt{98}$
  8. $\sqrt{108}$
  9. $\sqrt{128}$
  10. $\sqrt{\frac{50}{9}}$

H. Kunci Jawaban

  1. $\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}$
  2. $\sqrt{28} = \sqrt{4 \times 7} = 2\sqrt{7}$
  3. $\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}$
  4. $\sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = 3\sqrt{6}$
  5. $\sqrt{63} = \sqrt{9 \times 7} = 3\sqrt{7}$
  6. $\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}$
  7. $\sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = 7\sqrt{2}$
  8. $\sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = 6\sqrt{3}$
  9. $\sqrt{128} = \sqrt{64 \times 2} = 8\sqrt{2}$
  10. $\sqrt{\frac{50}{9}} = \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{9}} = \frac{5\sqrt{2}}{3}$

I. Asesmen Sumatif

Kerjakan soal-soal berikut dengan teliti. Pilih satu jawaban yang paling tepat untuk soal pilihan ganda, dan kerjakan soal uraian secara lengkap.

Bagian A — Soal Mudah (Skor 4 × 10 = 40)

  1. Hasil penyederhanaan dari $\sqrt{20}$ adalah …

    • A. $2\sqrt{5}$
    • B. $4\sqrt{5}$
    • C. $5\sqrt{2}$
    • D. $10$

  2. Bentuk sederhana dari $\sqrt{50}$ adalah …

    • A. $2\sqrt{25}$
    • B. $5\sqrt{2}$
    • C. $25\sqrt{2}$
    • D. $10\sqrt{5}$

  3. Di antara bilangan berikut, yang sudah dalam bentuk akar paling sederhana adalah …

    • A. $\sqrt{12}$
    • B. $\sqrt{18}$
    • C. $\sqrt{7}$
    • D. $\sqrt{27}$

  4. Hasil dari $\sqrt{45}$ adalah …

    • A. $3\sqrt{5}$
    • B. $5\sqrt{3}$
    • C. $9\sqrt{5}$
    • D. $15$

Bagian B — Soal Sedang (Skor 4 × 15 = 60)

  1. Bentuk sederhana dari $\sqrt{98}$ adalah …

    • A. $2\sqrt{49}$
    • B. $7\sqrt{2}$
    • C. $14\sqrt{7}$
    • D. $49\sqrt{2}$

  2. Nilai dari $\sqrt{\frac{27}{4}}$ dalam bentuk sederhana adalah …

    • A. $\frac{3\sqrt{3}}{4}$
    • B. $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
    • C. $\frac{\sqrt{27}}{2}$
    • D. $\frac{9}{2}$

  3. Diketahui $\sqrt{a} = 6\sqrt{2}$. Nilai $a$ yang memenuhi adalah …

    • A. $12$
    • B. $24$
    • C. $36$
    • D. $72$

  4. Perhatikan dua pernyataan berikut:

    • (i) $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
    • (ii) $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$

    Pernyataan yang benar tentang hubungan (i) dan (ii) adalah …

    • A. Keduanya bernilai sama
    • B. (i) lebih besar dari (ii)
    • C. (ii) lebih besar dari (i)
    • D. Tidak dapat ditentukan

Bagian C — Soal Sulit / HOTs (Skor 2 × 25 = 50)

  1. Soal HOTS: Sebuah taman berbentuk persegi panjang dengan panjang $\sqrt{180}$ meter dan lebar $\sqrt{80}$ meter.

    • (a) Sederhanakan $\sqrt{180}$ dan $\sqrt{80}$ masing-masing ke bentuk akar paling sederhana.
    • (b) Hitunglah luas taman tersebut dalam bentuk akar yang paling sederhana.
    • (c) Jika di sekeliling taman akan dipasang pagar seharga Rp 25.000 per meter, hitunglah biaya total pemasangan pagar.

  2. Soal HOTS: Tiga orang siswa diminta menyederhanakan $\sqrt{200}$.

    • Andi menjawab: $\sqrt{200} = 2\sqrt{100} = 2 \times 10 = 20$

    • Budi menjawab: $\sqrt{200} = \sqrt{100 \times 2} = 10\sqrt{2}$

    • Citra menjawab: $\sqrt{200} = \sqrt{4 \times 50} = 2\sqrt{50}$

    • (a) Siapa yang menjawab benar? Jelaskan alasannya.

    • (b) Jelaskan kesalahan yang dilakukan oleh siswa yang menjawab salah.

    • (c) Mengapa jawaban Citra, meskipun secara matematis tidak salah, belum dianggap bentuk paling sederhana? Sederhanakan jawaban Citra hingga mencapai bentuk akar paling sederhana.

Total Skor Maksimal: 150

📝 Latihan Sumatif
Kerjakan soal latihan interaktif — nilai langsung tampil, maksimal 3 kali.